从牛顿的时代背景探索第二运动定律(下)

连结:从牛顿的时代背景探索第二运动定律(上)

牛顿给力一个定义:第二运动定律

在伽利略和牛顿的时代,数学工具只有几何、三角、和代数,物理知识也仅限日常生活中有系统的观察,及少数的实验结果。用现代的标準来衡量,伽利略和牛顿顶多只有国中毕业的程度。如果我们用现代的数理常识背景来解答三、四百年前的问题,那就是「事后有先见之明」了。虽然和「力学」有关的量测,伽利略得到的数据被推崇是权威性,然而他的「力学」实验几乎全部是基于物体的直线运动。在这个时代背景下,牛顿建立的理论,是从「一维系统」开始,然后才推广到「三维空间」。因此,我们也从直线运动开始,试试看能否经历一趟牛顿的思路。

我们再看看布里丹的说法:“当一个物体开始运动时,「运动源」在「运动物」上加了「力」,通过这个「力」把一些「冲力」放进「运动物」中”。很显然的,在一个物体开始运动以后,它拥有的冲力就不会改变了,根据冲力的定义,这个「运动物」的速度也不会改变。不过我们可以从伽利略的实验结果开始,反转来分析问题。伽利略发现,随着时间增加,倾斜面上滚动物体越滚越快,因此,它拥有的冲力就随着时间增加。符合逻辑的结论应该是:在整个运动过程中,一直有一种「力」加在「运动物」上,不断的放进冲力。问题是:这个「力」是如何产生的?跟随着这个「力」,「运动物」的速度如何改变?伽利略是1642年逝世,他在生前不知道答案。牛顿是1643出生,用他发现的万有引力定律,和他发明的微分法,牛顿把答案找到了。

(我相信)伽利略和牛顿都看到下面这个最基本的问题:多大的「力」能改变多少速度?在他们那个时代,「力」只是一个没有量化的概念,因此,只能先探讨「速度改变多少」这个议题。伽利略所做的「古典力学」的实验,很大的部份都是量「运动物」的位置和时间的关係。物理教学习惯用\(“x(t)”\)来标示一个物体在\(“t”\)时间的位置。伽利略量出,「运动物」在 \(t_1\) 时间的位置是 \(x(t_1)\),在 \(t_2\) 时间的位置是 \(x(t_2)\),于是在「平均时间」\(t_{12}=\frac{(t_1+t_2)}{2}\),及「平均位置」\(x(t_{12})=\frac{ x(t_1)+ x(t_2)}{2}\),这个「运动物」的速度是 \(v(t_{12})=\frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1}\)。这是计算“位置随时间的改变率”。牛顿用同样的方法来计算“速度随时间的改变率”(正式的名称是“加速度”)。为了避免表达上的误解,我重述一遍计算方法。如果「运动物」的速度在 \(t_1\) 时间是 \(v(t_1)\),在 \(t_2\) 时间是 \(v(t_2)\),那幺在「平均时间」\(t_{12}=\frac{(t_1+t_2)}{2}\),及「平均速度」\(v(t_{12})=\frac{ v(t_1)+v(t_2)}{2}\),这个「运动物」的加速度是 \(a(t_{12})= \frac{ v(t_2)-v(t_1)}{ t_2-t_1}\)。

三、四百年前,没有精凖的量测仪器,也没有精凖的计算尺,伽利略量出的数据和牛顿算出的数目到底多幺準确?我必须说:现代的人依靠设备,古代的人依靠头脑。举一个例子来说明。今天有多少理工科的博士能算出圆周率的值?他们都会查数字表,都会用电脑,可是不会像古代人那样想方法。在两千两百年前,阿基米德就发明了“趋近法”,用它来计算“精确值”。他用平面几何的方法,得到了一个算数关係式,如果知道「等边n边形」的周长,用这个算数关係式,就能立刻算出「等边2n边形」的周长。阿基米德在一个“圆形”里面放一个最大的“等边六边形”,再在“圆形”外面放一个最小的“等边六边形”,用“直径”为长度的单位,从六边形的周长开始,一步一步的算十二边形的周长,二十四边形的周长,四十八边形的周长,九十六边形的周长,得到的结果是:从圆形内的多边形计算,圆周率的值是三又七分之一(3.142857),从圆形外的多边形计算,圆周率的值是三又七十一分之十(3.140845),而一般教学用的圆周率的正确值是介于这两个数之间的3.1416。如果阿基米德再继续推算三、四步,就算出圆周率是3.1416了。

用伽利略量出的数据,牛顿算出的结果是:滚动物体的速度\(“v(t)”\)的增加,和时间\(“t”\)的增加是线性关係;但是加速度\(“a(t)”\)却是一个固定数值,和时间\(“t”\)的增加无关。牛顿在得到这个重要的结果以前,在1666年他还是二十三岁时,就已经发现了万有引力定律,他知道在地球表面上的物体,受到的地球引力也是一个固定数值。到此时,是「水到渠成」了,就是这个固定数值的地球引力,产生了这个固定数值的加速度\(“a(t)”\)。牛顿注意到,“力”还是一个概念,没有被“量化”,就不能够量出“力”的数值是多少。根据在伽利略的运动物体实验中,物体质量所扮演的角色,以及根据一个物体所受到的地球引力和该物体的质量成正比,牛顿走出了非常重要的一步,他给“力”下了一个定义:

\(\text{一个物体所受的力} [f(t)] = \text{该物体的质量}[m] \times \text{该物体的加速度} [a(t)]\) 。

通过量测质量和加速度,就量出了力。我们都熟悉长度的单位「公尺」和时间的单位「秒」,由此可决定加速度。至于质量的单位,根据「国际单位制」,用一种铂铱合金(90%的铂及10%的铱)造成39.17mm的直立圆柱体(高度=直径),这个“国际千克原器”的质量是“质量的单位一公斤”。在质量一公斤的物体上,产生一“公尺/(秒秒)”的加速度,需要的力是一“牛顿”。为了纪念牛顿,就把他的姓氏做为“力”的单位。

牛顿需要思考的下一步是:如果一个运动物体的加速度随时间改变,是否也适合用“牛顿力”的定义 \(f(t)=m\times a(t)\) 来测量随时间改变的力?牛顿发明了“微积分”来分析在“瞬间”内的运动变化,证明了还是可以用 \(f(t)=m\times a(t)\) 来定义力。我在此必须说明,和牛顿同时的德国数学家莱布尼兹(Gottfried Wilhelm Leibniz),也在研究微积分,当时牛顿住在英国剑桥,莱布尼兹住在法国巴黎,他们两人通过信件来讨论研究的进展,可是剑桥和巴黎之间的邮件传递很慢,送一趟信需要花至少六星期,于是“谁先发明什幺”就成了纠缠不清的问题,莱布尼茨与牛顿谁先发明微积分的争论是数学界至今最大的公案。1712年英国皇家学会成立了一个委员会调查此案,1713年初发布公告:「确认牛顿是微积分的发明人。」我写「牛顿发明微积分」是根据这个公告。

牛顿需要思考的再下一个问题是和质量有关。从布里丹的「冲力论」开始,就不能离开质量来讨论力,伽利略量出的数据,也隐含着质量这个因素,虽然在他的每一个实验里,被测量物体的质量是不随时间改变的。布里丹定义的「冲力」,演变到后来成为「动量 (momentum)」,于是牛顿第二运动定律,也是「力」的定义,被修改为

\(f(t)=\text{动量}[m(t)v(t)]\text{随时间的改变率}=\displaystyle\frac{d[m(t)v(t)]}{dt}\)。

最后一项的写法是微积分的表达式。随着科学与工业技术的进步,这个修正的重要性越来越明显。以航空为例,一架波音七四七客机的油箱可装大约140吨的油,在正常的巡航情况下,一小时要烧掉大约12吨的油。因此,飞机推动力的计算方式,就必须放进“飞机重量持续减低”的这一个因素。至于对飞弹的精凖导航,那就更重要了!

我从伽利略的实验数据开始,所做的都是在一维空间里,物体运动的分析。正确的牛顿第二运动定律,或是「力」的定义,应该是,物理教科书中写的,三维空间的数学表达式。从第二运动定律出发,可以推算出:加在一个物体上的力所做的「功」,就等于该物体增加的动能;位能的改变可以产生力;动能和位能加在一起的总能量守恆定律;… 等等,重要的结论。

最重要的是,牛顿第二运动定律提供了一个微分方程式,如果知道力的数学表达式,就能解这个微分方程式,再根据“初始条件”,就得到在任何时间,一个运动物体的位置、速度、和加速度。牛顿在1666年发现万有引力定律以后,花了很多时间研究微积分,然后再解行星运动的微分方程式,得到了行星的运行轨道,最后,1686年在英国皇家学会完整的讲述了「万有引力定律」。

再过一年,1687年,牛顿的经典巨着 “Principia Mathematica Philosophiae Naturalis.” 出版了,牛顿的第一、第二、及第三运动定律正式问世。

后语

在牛顿的那个时代,学术研究是开放式的,很多新的观念和新的构想,都是通过同侪之间的讨论辩解,釐清了困惑,得到共识。因此,在一个小的物理数学的学术圈内,发表论文的内容,需要写明白的是严谨正确的结论,并不重视文字解说。这些用拉丁文写的论文,两百多年以后,经过“非物理专业”的拉丁文学专家,翻译成英文,我们就非常非常难跟随,三百多年前的原着者的逻辑思维路线。以上所叙述的,是「下愚」的我所能做的最好的推论:牛顿力的定义和第二运动定律是一体两面。

牛顿第一运动定律(又叫做“惯性定律”)是:在一个参考系中,不受外力的物体都保持静止,或作等速直线运动。这和伽利略从滚动物体实验所得到的第一个运动规则,基本上是一样的,也能从牛顿第二运动定律演化得到(把力设为零)。至于牛顿从什幺逻辑导出第三运动定律「两个互相作用的物体,彼此施加于对方的力,其大小相等、方向相反」,对我来说,是一个不解的谜。过去,在我思考牛顿的万有引力定律时,也遇到同样的谜。如果用 \(M\) 代表太阳的质量,用 \(m\) 代表地球的质量,用 \(R\) 代表太阳和地球之间的距离,我能懂太阳对地球的引力是正比于 \(\frac{m}{R\times R}\),地球对太阳的引力是正比于 \(\frac{M}{R\times R}\),但是我真的搞不懂,为什幺太阳和地球之间互相的引力是正比于 \(\frac{m\times M}{R\times R}\)?现在我们可以把一块石头拿到月球上去量它所受的引力,和它在地球上所受的引力比较,就能证明为什幺出现 \((m\times M)\) 这个因子,可是这个实验在三百多年前是做不到的。我只能彻头彻尾的推崇,这是牛顿的无人能及的天才之处!

曾经有人这样解释,原文如下:Newton’s Third Law is a result of applying symmetry to situations where forces can be attributed to the presence of different objects. The third law means that all forces are interactions between different bodies, and thus that there is no such thing as a unidirectional force or a force that acts on only one body. 供各位参考。

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